Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 418

 Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше 80 и не больше 170. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на 2. Числа в последовательности могут повторяться.

На столе лежат карточки, на каждой из которых написано трёхзначное число (цифры не содержат нулей). Карточек не менее двух, числа на них могут повторяться. С каждой карточки стирают среднюю цифру и вычисляют сумму получившихся двузначных чисел.

В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и М соответственно так, что SK : KA = SL : LC = 2 : 1 и SM = MD.

а) Докажите, что плоскость KML содержит точку B.

б) Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 21, а высота пирамида SABCD равна 12.

Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 6. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150°. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. 

а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 5. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150°. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. 

а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 4. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150°. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. 

а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 10. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150°. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. 

а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 14. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150°. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. 

а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на рёбрах АВ и CC₁ отмечены середины - точки M и K соответственно. Через вершину А₁ перпендикулярно прямой  MK проведена плоскость а.

а) Докажите, что точка В₁ принадлежит плоскость а.

б) Найдите отношение, в котором плоскость а делит отрезок МК, если известно, что АВ = 4√3, АА₁ = 8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B₁D, пересекает ребро BB₁ в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°.

а)  Докажите, что угол KOB меньше 45°.

б)  Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.