Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 419
Вопросы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD является прямоугольником со сторонами 9 и 12, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B₁D, пересекает ребро BB₁ в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°.
а) Докажите, что угол KOB меньше 45°.
б) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет два различных решения.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет два различных решения.
У Юры есть карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, всего десять штук, из которых от составляет различные числа. Карточки с цифрами 0, 1, 2, 3 и 6 он отдал своей младшей сестре Полине.
а) Сможет ли Полина из имеющихся у неё карточек составить пятизначное число, делящееся на 55?
б) Сможет ли Юра из оставшихся у него карточек составить пятизначное число, делящееся на 55?
в) Какое наибольшее число сможет составить Юра из оставшихся у него карточек, чтобы оно делилось на 11?
У Полины есть карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, всего десять штук, из которых она составляет различные числа. Карточки с цифрами 0, 1, 2, 3 и 9 она отдала своему младшему брату Юре.
а) Сможет ли Юра из имеющихся у него карточек составить пятизначное число, делящееся на 55?
б) Сможет ли Полина их оставшихся у нее карточек составить пятизначное число, делящееся на 55?
в) Какое наибольшее число сможет составить Полина из оставшихся у нее карточек, чтобы оно делилось на 11?
На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдется прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 5 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 5 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 15?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 36?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдется прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 7 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 7 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 28?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 28?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдется прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 5 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 5 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 20?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 20?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдется прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 7 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 7 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 14?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 38?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
15 января 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 47-й (с февраля 2025 года по декабрь 2028 года включительно) долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– 15 января 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.