Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 265
Вопросы
На доске написаны десять различных натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих десяти чисел равняться 11?
в) Каково наибольшее возможное значение среднего арифметического всех этих десяти чисел при данных условиях?
a) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3п; -п/2].
В правильной четырехугольной призме ABCA1B1C1 сторона АВ основания АВС равна 4, а боковое ребро АА1 равно 6. На ребрах ВВ1, СС1 и А1В1 соответственно отмечены точки N, K и P так, что CK:KC1= B1N:NB= B1P:PA1=1 :2. Плоскость KNP пересекает ребро А1С1 в точке F.
В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на 2 млн рублей на 4 года.
Условия его возврата таковы:
- в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей.
Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.
В треугольнике АВС точки N и Р — середины сторон АВ и ВС соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник АВС.
а) Докажите, что периметр треугольника АВС равен 4АС.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если его периметр равен 28, ВАС = ∠120°.
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
имеет единственное решение.
Есть 2 камня, каждый массой 100 тонн, 6 камней, каждый массой 20 тонн, и 4 камня, каждый массой 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 12 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 12 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами m1, m2 и m3 так, что 
. Найдите наименьшее такое число d, что 
.
a) Решите уравнение 
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3п/2; 4п].
В правильной четырехугольной призме ABCA1B1C1 сторона АВ основания АВС равна 
, а боковое ребро АА1 равно 
. На ребрах АА1, ВВ1и А1С1 соответственно отмечены точки N, K и P так, что AN:NA1= B1K:KB= C1P:PA1=2 :1. Плоскость KNP пересекает ребро В1С1 в точке F.
а) Докажите, что точка F - середина ребра В1С1.
б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.