Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 266
Вопросы
В сентябре 2027 года Мария планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 4,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r - 3) % от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;
- в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;
- к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 7,2 млн рублей.
Сколько рублей составит выплата 2032 года?
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона АВ равна а, а основание AD = с больше основания ВС = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону ВС, то b + с < 2а.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если с = 12, b = 6, а = 10.
Дано четырёхзначное число 
где а, b, с и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём а≠0.
а) Может ли произведение а • b • с • d быть больше суммы а + b + с + d в 5 раз?
б) Цифры а, b, с и d попарно различны. Сколько существует различных чисел таких, что a • b • c • d > a + b + c + d?
в) Известно, что а • b • с • d = k(a + b + c + d), где k — двузначное число. При каком наибольшем значении число k будет наибольшим?
а) Решите уравнение 2sin2x-3cos(-x)-3=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Точки М и N - середины боковых сторон АВ и CD соответственно. Плоскость а проходит через точки М и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью а является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью а, если AD = 9, ВС = 7, SO = 6, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
В июле 2027 года планируется взять кредит на три года в размере 1200 тыс. рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- платежи в 2028 и 2029 годах должны быть равными;
- к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2030 году составит 673,2 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2028 года?
В параллелограмме ABCD угол ВАС вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла ВАС пересекает отрезок ВС в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка Е, что AE = СЕ.
а) Докажите, что AL: AC = АВ: ВС.
б) Найдите EL, если АС = 21, tg∠BCA = 0,4.