Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 260
Вопросы
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Из правильной несократимой дроби a/b, где а и b - натуральные числа, за один ход получают дробь (2a+b)/(3а +b).
а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 1/4 получить дробь 63/82?
б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 11/16?
в) Несократимая дробь c/d больше 0,75. Найдите наименьшую дробь
c/d, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?
а) Решите уравнение 
6) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5п/2; 4п].
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 10, высота SH равна 15. Точка К — середина бокового ребра SA, а точка N — середина ребра ВС. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и Р соответственно.
а) Докажите, что прямая QP пересекает отрезок SN в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями АВС и AQP.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 16%
по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,221 млн рублей?
Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
а) Докажите, что ОР = СР.
б) Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности, если расстояние от точки Р до прямой АС равно 12, <ABC = 60°.
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Из правильной несократимой дроби a/b, где а и b - натуральные числа, за один ход получают дробь (2a+b)/(3а +b).
а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 1/3 получить дробь 53/69?
б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 8/13?
в) Несократимая дробь c/d больше 0,76. Найдите наименьшую дробь
c/d, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?
а) Решите уравнение
2*sin(x + п/6) - 2cos2x = cosx - 2
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2п; 7п/2].
