Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 259

Решите неравенство

Для модернизации оборудования на технологической линии предприятие планирует 15 июня 2025 года взять в банке кредит на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Экономический анализ показал, что общая сумма выплат после полного погашения кредита окажется на 42% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Основание AD трапеции ABCD

является диаметром окружности, проходящей через середину стороны АВ и касающейся прямой CD. 

а) Докажите, что треугольник ABD равнобедренный. 

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ВС = 8, <BDC = 30° .

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

a²+7|x|+7log₇(28x²+7)=4a+2|x-2a|

имеет хотя бы один корень.

Юра распечатал на принтере карточки со всеми трёхзначными натуральными числами, которые равны n²+2n при некотором натуральном n. Когда его сестра Катя пришла из школы, она выбрала все карточки с числами, оканчивающимися цифрой 4.

а) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается «24»? 

б) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается «54»? 

в) Сколько всего у Кати карточек?

а) Решите уравнение

6) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3п; -3п/2].

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 9. Точка К — середина бокового ребра SA, а точка N — середина ребра ВС. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и Р соответственно. 

а) Докажите, что прямая QP пересекает отрезок SN в его середине. 

б) Найдите угол между плоскостями АВС и AQP.

Решите неравенство

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 24% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 20 %

по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,421 млн рублей?

Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что ОР = СР.

б) Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности, если расстояние от точки Р до прямой АС равно 24, <ABC = 60°.