Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 261
Вопросы
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 8, боковое ребро SA равно 7. На ребрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=2, SK=1.
а) Докажите, что плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
б) Найдите объем пирамиды BCKM.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK:KC=3:1, а AB=2 и SO=√14.
а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известно, что AB=2. Плоскость α проходит через вершины A1 и B и середину M ребра CC1.
а) Докажите, что сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=2, SK=1. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и соджержит точки М и К.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку С.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равна √21. На ребрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=4, SK:KB=1:3.
а) Докажите, что плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
б) Найдите объем пирамиды ВСKM.
Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость α проходит через вершины B₁ и D и пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD — ромб.
а) Докажите, что точка M — середина ребра AA₁.
б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB₁KD равна 6.
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=6√2.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=1:2. Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении A₁M:MD₁=1:2, а точка K — середина ребра DD₁.
а) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK=1, KC=3.