Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 425
Вопросы
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB отмечена ее середина - точка К, на стороне ВС отмечена ее середина - точка М. На отрезке КМ отмечена точка Е так, что КЕ:ЕМ=1:2. Прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке N.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку К параллельно прямой AN, пересекает отрезок BN в его середине.
б) Найдите длину отрезка AN, если АС=4√13.
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB отмечена ее середина - точка К, на стороне ВС отмечена ее середина - точка М. На отрезке КМ отмечена точка Е так, что КЕ:ЕМ=1:2. Прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке N.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку К параллельно прямой AN, пересекает отрезок BN в его середине.
б) Найдите длину отрезка AN, если АС=6√13.
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB отмечена ее середина - точка К, на стороне ВС отмечена ее середина - точка М. На отрезке КМ отмечена точка Е так, что КЕ:ЕМ=1:2. Прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке N.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку К параллельно прямой AN, пересекает отрезок BN в его середине.
б) Найдите длину отрезка AN, если АС=8√13.
В треугольнике АВС длины сторон АВ, ВС и АС равны 12, 10 и 18 соответственно. Из вершины А проведена биссектриса AL, а на стороне АС отмечена точка К так, что ВК и AL перпендикулярна.
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок KL пополам.
б) Пусть F - точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношения AF:FK.
В треугольнике АВС длины сторон АВ, ВС и АС равны 12, 7 и 16 соответственно. Из вершины А проведена биссектриса AL, а на стороне АС отмечена точка К так, что ВК и AL перпендикулярна.
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок KL пополам.
б) Пусть F - точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношения AF:FK.
В кошельке у Андрея было n монет достоинством 2, 5 или 10 рублей. Андрей сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли покупками быть набор красок за 68 рублей и кисточка за 17 рублей, если n=16?
б) Могли ли покупками быть циркуль за 10 рублей, линейка за 15 рублей и карандаш за 10 рублей, если n=22?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Андрей купил только набор маркеров за 83 рубля, а n=18?
В кошельке у Антона было n монет достоинством 2, 5 или 10 рублей. Антон сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли покупками быть альбом за 47 рублей и карандаш за 18 рублей, если n=15?
б) Могли ли покупками быть циркуль за 16 рублей, линейка за 25 рублей и карандаш за 12 рублей, если n=23?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Антон купил только дневник за 81 рубль, а n=21?
Бесконечная геометрическая прогрессия b1, b2,...,bn ,... состоит из различных натуральных чисел. Пусть S1=b1 и Sn=b1+b2+...+bn при всех n≥2.
а) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S1, S2, S3, S4 который ровно два числа делятся на 40?
б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S1, S2, S3, S4 который ровно три числа делятся на 40?
в) Какое наибольшее количество чисел среди S1, S2, ..., S8 может делиться на 40, если известно, что S1 на 40 не делится?
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 304. Известно, что в этой прогрессии не меньше трёх членов.
а) Может ли число 380 являться членом такой геометрической прогрессии?
б) Может ли число 760 являться членом такой геометрической прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой геометрической прогрессии?
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 304. Известно, что в этой прогрессии не меньше трёх членов.
а) Может ли число 475 являться членом такой геометрической прогрессии?
б) Может ли число 266 являться членом такой геометрической прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой геометрической прогрессии?