Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 424
Вопросы
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведена высота BH. Около треугольника ABC описана окружность. Высота BH пересекается с этой окружностью в точке P, причём луч AP — биссектриса угла BAC.
а) Докажите, что треугольник BCP равнобедренный.
б) Найдите длину стороны AC, если длина стороны BC равна радиусу описанной окружности, равному .
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведена высота BH. Около треугольника ABC описана окружность. Высота BH пересекается с этой окружностью в точке P, причём луч AP — биссектриса угла BAC.
а) Докажите, что треугольник BCP равнобедренный.
б) Найдите длину стороны AC, если длина стороны BC равна радиусу описанной окружности, равному .
В трапеции ABCD (AD и ВС - основания) биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке L, причём треугольник ACL и ADL равновеликие.
а) Докажите, что биссектриса угла ABC пересекает сторону CD также в точке L.
б) Найдите длину отрезка AL, если BL=5 и BC+AD=13.
В трапеции ABCD (AD и ВС - основания) биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке L, причем треугольники ACL и ADL равновеликие.
а) Докажите, что биссектриса угла АВС пересекает сторону CD также в точке L.
б) Найдите длину отрезка AL, если BL=9 и ВС+AD=15.
Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 7.
Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CKH и CPD подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 9.
Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 6.
Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH.
а) Докажите, что треугольники CKH и CPD подобны.
б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 8.
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB отмечена ее середина - точка К, на стороне ВС отмечена ее середина - точка М. На отрезке КМ отмечена точка Е так, что КЕ:ЕМ=1:2. Прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке N.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку К параллельно прямой AN, пересекает отрезок BN в его середине.
б) Найдите длину отрезка AN, если АС=√13.
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB отмечена ее середина - точка К, на стороне ВС отмечена ее середина - точка М. На отрезке КМ отмечена точка Е так, что КЕ:ЕМ=1:2. Прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке N.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку К параллельно прямой AN, пересекает отрезок BN в его середине.
б) Найдите длину отрезка AN, если АС=2√13.