Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 421

Четверо одноклассников играют в числа. Первый записал несколько необязательно различных двузначных чисел. Второй нашёл их сумму, и у него получилось 132. Третий поменял местами единицы и десятки в каждом числе, записанном первым. Четвёртый нашёл сумму чисел, получившихся у третьего.

a) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в 4 раза больше суммы, которую получил второй?

б) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в 3 раза больше суммы, которую получил второй?

в) Какую наибольшую сумму может получить четвёртый?

Окружность с центром О₁ касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD и не имеет общих точек с прямой CD. Окружность с центром О₂ касается сторон ВС, CD и AD и не имеет общих точек с прямой AB.
а) Докажите, что прямая О₁О₂ параллельна основанию трапеции ABCD.
б) Найдите длину отрезка О₁О₂, если AB=10, BC=15, CD=12, AD=19.

Окружность с центром О₁ касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD и не имеет общих точек с прямой CD. Окружность с центром О₂ касается сторон ВС, CD и AD и не имеет общих точек с прямой AB.
а) Докажите, что прямая О₁О₂ параллельна основанию трапеции ABCD.
б) Найдите длину отрезка О₁О₂, если AB=11, BC=10, CD=13, AD=18.

Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке Р, а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К.
а) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB=8, BC=√15, AC=7.

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро AS равно 3√10, а высота SH пирамиды равна 5√2. Точка М - середина ребра ВС, а АТ - высота пирамиды, проведённая к грани SBC.

а) Докажите, что точка Т является серединой отрезка SM.

б) Найдите расстояние между прямыми АТ и SB.

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро AS равно 3√6, а высота SH пирамиды равна √30. Точка М - середина ребра ВС, а АТ - высота пирамиды, проведённая к грани SBC.

а) Докажите, что точка Т является серединой отрезка SM.

б) Найдите расстояние между прямыми АТ и SB.

Ребро AD пирамиды DABC равно 4, а все остальные рёбра равны 7.

а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC.

Ребро AD пирамиды DABC равно 4, а все остальные рёбра равны 5.

а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC.

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр - целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 67?
б) Может ли это отношение быть равным 83?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 6?

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр - целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 28?
б) Может ли это отношение быть равным 88?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 5?