Решение:

Раскроем модуль у второго уравнения системы:

при y0 при y0. Графиком является парабола с вершиной в точке (4; 4), ветви направлены вниз. Определена при 0x8

при y<0 при y<0. Графиком является парабола с вершиной в точке (4; -4), ветви направлены вверх. Определена при 0<x<8

Графиком первого уравнения системы является функция вида y=|x| , сдвинутая на 4 единицы вниз по оси Оу и на |a| единиц вдоль оси Ох.

Количество точек пересечения графиков соответствует количеству решений системы уравнений.

Построим график:

1) Рассмотрим касание левой ветви графика модуля y=a-x-4 и параболы . Условие касания:

Равенство производных: -1=x+2 , отсюда х=6

Равенство функций: a-x-4 = , подставим х=6, тогда а=13 — 1 решение

2) Рассмотрим касание правой ветви графика модуля y=x-a-4 и параболы . Условие касания:

Равенство производных: 1=x-2 , отсюда х=6

Равенство функций: x-a-4 = , подставим х=-2, тогда а=5 — 3 решения

3) Рассмотрим касание левой ветви графика модуля y=a-x-4 и параболы . Условие касания:

Равенство производных: -1=x-2 , отсюда х=2

Равенство функций: a-x-4 = , подставим х=2, тогда а=3 — 3 решения

4) Рассмотрим касание правой ветви графика модуля y=x-a-4 и параболы . Условие касания:

Равенство производных: 1=x+2 , отсюда х=2

Равенство функций: x-a-4 = , подставим х=2, тогда а=-5 — 1 решение

5) Рассмотрим случай, когда вершина графика модуля совпадает с вершиной параболы: при а=4 — 3 решения

Графики имеют две точки пересечения, то есть два различных решения, при -5<x<3 и 5<x<13

Ответ:

Задание 50258 ЕГЭ по профильной математике