Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 229
Вопросы
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 312 500 рублей.
Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Окружность с центром в точке О вписана в ромб ABCD и касается его сторон АВ, CD и AD соответственно в точках F, К и Р.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD
б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP=12 и РК=5
а) Решите уравнение 
б) Найдите же корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2п; -п/2].
Найдите все значения а, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями
На рёбрах АВ и В1С1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 отметили соответственно точки Т и К так, что АТ : ТВ = 2 : 1, В1К= КС1. Через точки К и С параллельно прямой ТВ1 проведена плоскость a.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости a с ребром АВ является серединой отрезка АТ.
6) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью a, если АВ = 42, АА1 = 
.
На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке «-50», если Митя 30 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке +-50»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «-55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз.
В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14 % от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
– в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;
– к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.
В трапеции KLMN с основаниями KN и МL провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке Р. Через точку Р параллельно прямой КN провели прямую , которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках А и В. При этом АВ = КL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите соs∠LKN, если КР : РМ = 2 : 3 , АР : РВ = 1 : 2.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.