Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 227
Вопросы
На сторонах АВ и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки К и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и ВСNК также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.
а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, АК : КВ = 9 : 10, а ВС < AD и ВС = 10.
Найдите все такие значения а, при каждом из которых уравнение
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из шести членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].
Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP = 1,3AB. Через точку A перпендикулярно апофеме грани BCP проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит апофему грани BCP в отношении 119 : 25, считая от точки P.
б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.
В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
- в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;
- в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
- к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составлять 6025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата 2031 года?
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AP : PB=cos∠ACB.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.
Найдите все значения α, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Трёхзначное число A имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и A).
а) Может ли k быть равно 7?
б) Может ли k быть равно 25?
в) Найдите наибольшее k.