Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 228
Вопросы
Основанием правильной треугольной пирамиды РАВС является треугольник АВС, АР : АВ = 3 : 4. На апофеме грани ВСР отметили точку К , которая делит эту апофему в отношении 1 : 4 , считая от точки Р. Через точки А и К параллельно прямой ВС проведена плоскость a.
а) Докажите, что плоскость a перпендикулярна апофеме грани ВСР.
б) Найдите угол между прямой АС и плоскостью a.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; - π].
В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга; в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) должен быть на одну и ту же величину Q рублей меньше долга на октябрь предыдущ года;
– в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
– к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите величину Q, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой АВ проведена касательная, которая пересекает стороны ВС и АС в точках D и Е соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O1, и радиусом r. Прямые OO1 и АВ пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что АР : PB = cos∠ACB.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если R = 5, r = 3.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и Е делят соответственно рёбра АС и SB так, что AD:DC = SE:EB = 1:2. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка О. Прямые OD и ОЕ пересекают рёбра AS и ВС в точках Р и F соответственно, причём BF = FC .
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение АР:PS
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения
Трёхзначное число А имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и А).
а) Может ли k быть равно 15?
б) Может ли k быть равно 28?
в) Найдите все числа А, для которых k >= 30.
