Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 230

Среднее геометрическое k чисел p1,p2, ..., pk вычисляется по формуле

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.

в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π].

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и Е делят соответственно рёбра АС и SB так, что AD:DC = SE:EB = 1:3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка О. Прямые OD и ОЕ пересекают рёбра AS и ВС в точках Р и F соответственно, причём CF = 2FB. 

а) Докажите, что отрезки DE и РЕ пересекаются. 

б) Найдите отношение АР : AS.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [п/2; 2п]

Решите неравенство 

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324 000 рублей.

Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?

Окружность с центром в точке 0 вписана в ромб ABCD и касается его сторон АВ, CD и AD соответственно в точках F, К и P.

а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD. 

б) Найдите площадь ромба ABCD, если известно, что FP=6 и РК=8.

На рёбрах АВ и А₁С₁ правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ отметили соответственно точки Т и К так, что АТ:ТВ=1:2 и А₁К = КС₁. Через точки К и С параллельно прямой ТА₁ проведена плоскость а. 

а) Докажите, что точка пересечения плоскости а с ребром АВ делит это ребро в отношении 2 : 1, считая от точки А. 

б) Найдите площадь сечения призмы АВСА₁В₁С₁ плоскостью а, если AB=, АА₁ = 3.

Найдите все значения а, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями, будет больше 6, но не больше 12. 

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает

нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке «0», если Митя 45 раз бросил кубик?

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «-35»?

в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «-40», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?