Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 231
Вопросы
В августе 2027 года Алина планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;
- в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 13 % от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
- в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;
- к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1690 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке Р. Через точку Р параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и МN соответственно в точках А и В. При этом АВ=КL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите cos∠LKN, если КР : РМ = 4 : 3, АР : РВ = 3 : 2 .
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Среднее геометрическое k чисел p1, p2, ..., pk вычисляется по формуле 
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 36?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5;4].
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер BC и CD параллельно прямой SC проведена плоскость α.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AS делит это ребро в отношении 1:3, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AB=4, AS=
В июне 2028 года Ольга планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 3,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на 18% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Ольге предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на 18%, а в последующие два года - на r%. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту в банке G больше суммы выплат по кредиту в банке N на 162 тыс. рублей.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE:EC=1:4. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR:RD=1:3.
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2:1, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR=