Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 431
Вопросы
Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH.
а) Докажите, что ∠OAC = 45°.
б) Найдите длину отрезка BC, если BO = 1 и AC = 6.
В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5:4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Отрезки HM и HK — перпендикуляры к прямым AB и AC соответственно. Отрезки CT и MK пересекаются в точке E.
а) Докажите, что TH = ME.
б) Найдите длину отрезка EK, если AB = 5 и AC = 6.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины рёбер AB и SD соответственно.
а) Докажите, что прямая MK параллельна плоскости SBC.
б) Найдите высоту пирамиды, если AB = 12, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 60°.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины рёбер AB и SD соответственно.
а) Докажите, что прямая MK параллельна плоскости SBC.
б) Найдите высоту пирамиды, если AB = 24, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 30°.
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше −72.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше −36.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше −60.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?
б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?