Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 351

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведена высота CH. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно, CD — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что ∠MDN=∠CAB+∠ABC.

б) Найдите длину отрезка MN, если AB=3√5, CM : MA = 9 : 41 и CN : NB = 9 : 1.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение √(5x²+8ax+4)=x²+2ax+2 имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение √(7x²+18ax+9)=x²+3ax+3 имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение √(7x²+12ax+9)=x²+2ax+3 имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение √(5x²+12ax+4)=x²+3ax+2 имеет ровно три различных корня.

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1+1+111+11+11+1=136.

а) Можно ли получить сумму 122, если n=59?

б) Можно ли получить сумму 123, если n=59?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n=59?

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1+1+111+11+11+1=136.

а) Можно ли получить сумму 110, если n=56?

б) Можно ли получить сумму 111, если n=56?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n=56?

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1+1+111+11+11+1=136.

а) Можно ли получить сумму 116, если n=53?

б) Можно ли получить сумму 117, если n=53?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n=53?

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1+1+111+11+11+1=136.

а) Можно ли получить сумму 128, если n=47?

б) Можно ли получить сумму 129, если n=47?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n=47?

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 97 камней, во второй — 98, в третьей — 99, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 93 камня, во второй — 98, в третьей — 99, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 294 камня?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?