Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 289

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через вершины B₁ и D и пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD — ромб.

а) Докажите, что точка M — середина ребра AA₁.

б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB₁KD равна 6.

Решите неравенство

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей. Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠BB₁C₁ =∠BAH.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁=18 и ∠BAC=30°

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно один корень.

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

а) Решите уравнение 2cos³x-cos²x+2cosx-1=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2п; 7п/2].

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и К соответственно, причём DN : NC = SK : КС = 1 : 2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Решите неравенство

В треугольнике АВС угол А равен 120°. Прямые, содержащие высоты ВМ и CN треугольника АВС, пересекаются в точке Н. Точка 0 - центр окружности, описанной около треугольника АВС.

а) Докажите, что АН = AO.

б) Найдите площадь треугольника АНО , если ВС = 3, ∠ABC = 15°.