Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 287

Решите неравенство

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 375000 рублей?

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC = 32.

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет на отрезке [0; 4] ровно один корень.

а) Решите уравнение 16^{sin x}-6*4^{sin x}+8=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п ; -7п/2]

Различные точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок АВ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

а) Докажите, что cos∠ASC + cos∠BSC = 1,5.

б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, cos∠ASC = 2/3.

Решите неравенство

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: 

— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца (r — целое число);

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; 

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.

В треугольнике АВС точки М и N лежат на сторонах АВ и ВС соответственно так, что АМ : MB = CN : NB = 2 : 3. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается отрезка MN в точке L.

а) Докажите, что АВ + ВС = 4АС.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, если МL = 9/5, LN = 3.