Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 288
Вопросы
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE.
а) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅AC.
б) Найдите EL, если AC=8, tg∠BCA=1/2.
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку С, причём CM=BC и CN=AC. Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно.
а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC=1, а AC=3.
Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=30о, ∠BCA=45о.
а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A₁H, если BC=4√3.
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что ∠ANB=2∠ABC.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC=14 и AB=36.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.
а) Докажите, что cos∠BAD=1/5.
б) Найдите площадь ромба, если MN=5.
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120о, ∠BCA=15о.
а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A₁H, если BC=4√3.
Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что AC=9.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB=90о.
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.
а) Докажите, что ∠BKM=45о.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона AB=2√10.