Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 288

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

а) Может ли S быть равной ?

б) Может ли S быть равной ?

в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

а) Решите уравнение

3 ⋅ 9^{х + 1} − 5 ⋅ 6^{х + 1} + 8 ⋅ 2^2х = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− π/2 ; π].

Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.

а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO =14.

Решите неравенство

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.

б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,25 млн рублей.

Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.

а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?

б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?

в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку