Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 317

Решите неравенство

15 января планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо оплатить часть долга одним платежом;

• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма платежей после полного погашения равнялась 2,7 млн рублей? 

Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.

а) Докажите, что ∠BB1С1 = ∠BAH.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны ВС, если В1С1‎ = 4√15 и ∠ВАС=30°.

Найдите все значения а , при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Сначала Маша написала на доске 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Затем вместо некоторых из чисел (возможно, одного) она написала на доске числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, она с доски стёрла.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 29. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 29. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

а) Решите уравнение cos2x+sin²x=0,25.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п/2; -п].

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 9. На ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ =7. Через точки К и С1 проведена плоскость а, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что А1Р: PB1 = 5:2, где Р — точка пересечения плоскости а с ребром A1B1.

б) Найдите угол между плоскостями а и BB1С1.

Решите неравенство

15 января планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 28% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны. 

б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 5 и АМ : MC = 1:24.