Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 286
Вопросы
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
−1 ⩽ cos x (cos2x − a − 1) ⩽ 1 верно при всех действительных значениях x.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известно, что AB = 2. Плоскость α проходит через вершины A1 и B и середину M ребра CC1.
а) Докажите, что сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5x2 + 2x + 6) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x2 + 2x + 6).
Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не больше чем за 3 года?
Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение х4 + (а - 3)2 = |х - а + 3| + |х + а - 3| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой- то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б)Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в)Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK:KC=2:3. Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2.
а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.