Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 280

.В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.

а) Докажите, что угол BCA равен 60°.

б) Найдите площадь треугольника ABC , если его периметр равен 16 и IC=2.

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Пусть обозначает двузначное число, равное 10m+ l, где m и l — цифры, m ≠0.

а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что

б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что , если среди цифр a, b, c и d есть цифра 7?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение , если цифры a, b, c и d различны и среди них есть цифры 3 и 6?

Пусть обозначает двузначное число, равное 10m+ l, где m и l — цифры, m ≠0.

а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что

б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что

, если среди цифр a, b, c и d есть цифра 7?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение , если цифры a, b, c и d различны и среди них есть цифры 4 и 7?

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.

а) Докажите, что угол BCA равен 60°.

б) Найдите площадь треугольника ABC , если его периметр равен 50 и IC=10.

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждый платеж будет меньше 2,5 млн рублей.

Решите неравенство

Основание пирамиды SABC— прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Ребро является высотой пирамиды. Точки Е и F лежат на рёбрах АС и ВS соответственно так, что SF:FB = AE:EC = 1:3. Плоскость a проходит через точки Е и F перпендикулярно прямой АС и пересекает рёбра АВ и CS в точках Н и М соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью а является прямоугольником.

б) Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 64.

а)Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5п; 13п/2].