Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 280
Вопросы
В июне 2028 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22 % по сравнению с концом предыдущего года;
– каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года;
– к июню 2038 года кредит должен быть полностью погашен
На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка Е — середина стороны ВС. Через точку В перпендикулярно прямой АВ и через точку Е перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке К.
а) Докажите, что АК = KD .
б) Найдите угол ADE, если расстояние от точки К до прямой AD равно длине отрезка ЕС и ∠ADC = 110°.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 - красную, если на 4 - синюю, если на 5 - зеленую. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на k карточках есть только синяя и зелёная отметки, на k карточках - только синяя и красная, на k карточках только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-0,9 ; 2,9].
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах ВС, CD и SC соответственно отмечены точки К, N и F так, что BK:KC = CN:ND = 1:2, CF:FS = 2:7.
а) Докажите, что плоскости АВС и FNK перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды AFNK, если AB=AS=6.
Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант 1 | – Каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; – кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. |
Вариант 2 | – 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2027 года, долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего квартала; – во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; – на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; – к 1 июня 2029 года кредит должен быть полностью погашен. |
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке продолжение стороны DС - в точке Р; диагональ АС является биссектрис угла KAD.
а) Докажите, что РС2 =CD*PK.
б) Найдите АС:АР, если ВС:АВ =2,5.