Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 279
Вопросы
Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 175, а во втором - каждое число равно 80. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 145.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 132?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 135?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π ; -2π].
В правильной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отметили точку К так, что СК:KC1 = 3:1. Через точки К и D1, параллельно прямой DF1 провели плоскость .
а) Докажите, что плоскость пересекает ребро В1С1 в такой точке N, что B1N:NC1 = 1:2.
б) Найдите угол между плоскостями EFF1 и , если АB=10, АА1 =4.
В мае 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тыс. рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 17 % по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года;
– к маю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2030 года?
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка Е - середина стороны ВС. Через точку В перпендикулярно прямой АВ и через точку Е перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке К.
а) Докажите, что АК=KD .
б) Найдите угол BAD, если расстояние от точки К до прямой AD равно длине отрезка ЕС и ∠CED = 58° .
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 - красную, если на 4 - синюю, если на 5 - зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π ; 4π].
В правильной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отметили кочку К так, что СК:KC1 = 4:1. Через точки К и D1 параллельно прямой DF1 провели плоскость .
а) Докажите, что плоскость пересекает ребро В1С1 в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями AFF1 и , если AB=4, AA1 = 15.