Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 276

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a(x+4/x)²+2(x+4/x)−25a+10=0 имеет ровно два различных корня.

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20.

а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 21?

б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 15?

в) Найдите наибольшее возможное число k такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на k.

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x⁴​+(a−3)²=|x−a+3|+|x+a−3| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа n. Найдите наименьшее возможное значение n.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.

В июле 2026 года планируется взять кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным первоначальному;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 4 млн рублей.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них

равно 7, a среднее арифметическое шести наибольших равно 21. 

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 5? 

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 16? 

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.