Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 276
Вопросы
В трапеции KLMN с основаниями KN и МL провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке Р. Через точку Р параллельно прямой КN провели прямую , которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках А и В. При этом АВ = КL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите соs∠LKN, если КР : РМ = 2 : 3 , АР : РВ = 1 : 2.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Среднее геометрическое k чисел p1,p2, ..., pk вычисляется по формуле 
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π].
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и Е делят соответственно рёбра АС и SB так, что AD:DC = SE:EB = 1:3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка О. Прямые OD и ОЕ пересекают рёбра AS и ВС в точках Р и F соответственно, причём CF = 2FB.
а) Докажите, что отрезки DE и РЕ пересекаются.
б) Найдите отношение АР : AS.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [п/2; 2п]
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324 000 рублей.
Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Окружность с центром в точке 0 вписана в ромб ABCD и касается его сторон АВ, CD и AD соответственно в точках F, К и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите площадь ромба ABCD, если известно, что FP=6 и РК=8.
На рёбрах АВ и А1С1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 отметили соответственно точки Т и К так, что АТ:ТВ=1:2 и А1К = КС1. Через точки К и С параллельно прямой ТА1 проведена плоскость а.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости а с ребром АВ делит это ребро в отношении 2 : 1, считая от точки А.
б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью а, если AB=
, АА1 = 3.