Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 270
Вопросы
а) Решите уравнение 750cos3x +6*1251/3+cos3x = 55cos3x + 301+cos3x.
6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/4; -3π/4].
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания 2√3 вписан шар. Плоскость а и перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость а и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости а.
В июне 2025 года бизнесмен Олег Вадимович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга, причём каждый из платежей 2027 и 2028 годов в 1,6 раза больше платежа предыдущего года;
– в период с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 1 770 240 рублям.
Найдите сумму кредита, если общие выплаты по нему составили 8 994 240 рублей.
В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС точки Е и F - середины сторон ВС и АD соответственно. В каждый из четырёхугольников АВЕF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
6) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если ВС = 16, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 7.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений 
имеет ровно четыре различных решения.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём k = nm + q, где q кг - остатки материала, и q m. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причём из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 - уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 32 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 33 - уже нет?
в) Найдите все такие числа п, что фабрика может выпускать п новых деталей из 10 кг материала, не нарушая условия q < m.
а) Решите уравнение log22(4x2)+3log0,5(8x)=1.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,15 ; 1,5].
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1 : √2. Через вершину D проведена плоскость ⍺, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М.
а) Докажите, что М - середина SB.
б) Найдите расстояние между прямыми АС и DM, если высота пирамиды равна 6√3.
