Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 247

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=6√2, AD=10, AA₁=16. На рёбрах AA₁ и BB₁ отмечены точки E и F соответственно, причём A₁E:EA=5:3 и B₁F:FB=5:11. Точка T — середина ребра B₁C₁.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении SN:ND=1:3.

а) Докажите, что точка M — середина ребра SC.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=1, CC₁=2√2.

а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60°.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q — середина ребра A₁C₁. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.

а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру AB.

б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, считая от точки P, если известно, что AB=AA₁, AB:BC=2:5.

Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K — точка пересечения прямых AB и CD.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причём BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁, если AB=21, BB₁=12, B₁C₁=16.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K:KC₁=1:2. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.

а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

Точка M — середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N лежит на ребре SB, SN:NB=1:2.

а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью CMN, если все рёбра пирамиды равны 6.