Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 247

В правильной четырехугольной призме ABCA1B1C1 сторона АВ основания АВС равна , а боковое ребро АА1 равно . На ребрах АА1, ВВ1и А1С1 соответственно отмечены точки N, K и P так, что AN:NA1= B1K:KB= C1P:PA1=2 :1. Плоскость KNP пересекает ребро В1С1 в точке F.

а) Докажите, что точка F - середина ребра В1С1.

б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.

Решите неравенство .

В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года.

Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;

- в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей.

В треугольнике АВС точки N и Р — середины сторон АВ и ВС соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник АВС.

а) Докажите, что периметр треугольника АВС равен 4АС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если его периметр равен 24, ∠ВАС = 60°.

Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств

имеет единственное решение.

Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?

б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?

в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами m1, m2 и m3 так, что . Найдите наименьшее такое число d, что .

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 1].

В правильной пирамиде SАВС с вершиной S на стороне основания АС и боковом ребре SB отметили соответственно точки Е и N такие, что АЕ:ЕС = SN: NB = 1:2. Через точки Е и N параллельно прямой АВ провели плоскость .

а) Докажите, что сечением пирамиды SАВС плоскостью является равнобедренная трапеция.

б) Плоскость разделила пирамиду SАВС на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка А, если АВ = 6 , АS =

Решите неравенство

В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей.

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей;

- выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;

- к июлю 2034 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат по кредиту.