Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 248
Вопросы
В квадрате АВСD на диагонали ВD и на сторонах АВ и ВС отметили соответственно точки Р, Е и F такие, что ВЕ = ВF, а прямая, проходящая через точку Р параллельно прямой АС, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если ВР*ВЕ = корень 2, то АВ = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников ЕРF и ЕВF.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1 , 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
– к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
– вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
а) Решите уравнение: 
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,4; 4].
В правильной пирамиде SABC на стороне BC основания ABC и боковом ребре AS отметили соответственно точки P и K такие, что BP:PC=AK:KS=2:1. Через точки P и K параллельно прямой AC провели плоскость α.
a) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
b) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разделила пирамиду SABC.
В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1324 тыс. рублей;
– выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
– к маю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в три раза меньше площади квадрата.
a) Докажите, что если BP ⋅ BE = 2, то AB = 3.
b) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
– к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
– вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
a) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора?
b) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?
c) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.