Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 248
Вопросы
На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:2. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B₁N и CM перпендикулярны.
б) Плоскость α проходит через точки N и B₁ параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B₁N=6.
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A₁D₁
в отношении A₁M:MD₁=1:2, а точка K — середина ребра DD₁.
а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB₁ пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=1:2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F:FB=1:5, а точка Т — середина ребра B1C1. Известно, что AB=2, AD=6, AA1=6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=5, BC=3, AA₁=4.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D₁.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A₁B₁.
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.
а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32.
б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, меньших 365, так, что сумма любых трёх последовательных чисел не делится на 2, а сумма любых четырёх последовательных делится на 4
а) Может ли на круге быть 200 чисел?
б) Может ли на круге быть 109 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать N ?
На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1+1+111+11+11+1=136.
а) Можно ли получить сумму 132, если n=60?
б) Можно ли получить сумму 132, если n=80?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 132?
В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?
