Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 248

Окружность с центром в точке О вписана в ромб ABCD и касается его сторон АВ, CD и AD соответственно в точках F, К и Р. 

а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD 

б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP=12 и РК=5

а) Решите уравнение

б) Найдите же корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2п; -п/2].

Найдите все значения а, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями, будет меньше 7, но не меньше 3.

На рёбрах АВ и В1С1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 отметили соответственно точки Т и К так, что АТ : ТВ = 2 : 1, В1К= КС1. Через точки К и С параллельно прямой ТВ1 проведена плоскость a. 

а) Докажите, что точка пересечения плоскости a с ребром АВ является серединой отрезка АТ.

6) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью a, если АВ = 42, АА1 = .

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру. 

а) Может ли фишка оказаться на отметке «-50», если Митя 30 раз бросил кубик? 

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке +-50»? 

в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «-55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз. 

Решите неравенство

В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

– в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;

– в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14 % от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;

– в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;

– к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

В трапеции KLMN с основаниями KN и МL провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке Р. Через точку Р параллельно прямой КN провели прямую , которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках А и В. При этом АВ = КL.

а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.

б) Найдите соs∠LKN, если КР : РМ = 2 : 3 , АР : РВ = 1 : 2.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Среднее геометрическое k чисел p1,p2, ..., pk вычисляется по формуле

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.

в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.