Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 246
Вопросы
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=√2, CC₁=2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 45°.
б) Найдите объём цилиндра.
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.
а) Докажите, что точка M — середина ребра A₁B₁.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка K делит ребро B₁C₁ в отношении B₁K:KC₁=2:3.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=2, SK=1. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и соджержит точки М и К.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку С.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равна √21. На ребрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=4, SK:KB=1:3.
а) Докажите, что плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
б) Найдите объем пирамиды ВСKM.
Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость α проходит через вершины B₁ и D и пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD — ромб.
а) Докажите, что точка M — середина ребра AA₁.
б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB₁KD равна 6.
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=6√2.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=1:2. Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении A₁M:MD₁=1:2, а точка K — середина ребра DD₁.
а) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK=1, KC=3.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём AB=2√2, BC=4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.
а) Докажите, что P — середина отрезка BQ.
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=4.
