Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 245

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB=2. Плоскость α проходит через вершины A₁ и B и середину M ребра CC₁.

а) Докажите, что сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причём BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если AB=7, BB₁=24, B₁C₁=10.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM:MD=3:2, BN:NC=1:2. Плоскость AMN

 пересекает ребро SC в точке K.

а) Докажите, что SK:KC=6:1.

б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

 На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD

с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM:MD=2:1. Точки P и Q — середины ребер BC

 и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC , является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1 , если AA1=6 , AB=4

На рёбрах AC,AD,BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K,L,M и N соответственно, причём AK:KC=2:3.Четырёхугольник KLMN— квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB.  Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q  —  середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.

а) Докажите, что плоскость α  делит ребро AC пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1C1, считая от точки A1, если известно, что AB=AA1, AB:BC=2:5.

В правильной треугольной пирамиде SABC  с основанием ABC точки M и K — середины ребер AB и SC соответственно, а точки N и L  отмечены на ребрах SA и BC  соответственно так, что отрезки MK и NL  пересекаются, а AN=3NS.

а) Докажите, что прямые MN, KL  и SB пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение BL:LC.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины ребер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S  отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают рёбра AS и BC в точках N и L соответственно, причём BL=3LC.

а) Докажите, что отрезки MK и NL пересекаются.

б) Найдите отношение AN:NS.