Если x≥0, то уравнение (|x|-5)²+(y-4)²=9 задаёт окружность ω₁ с центром в точке C₁ (5; 4) и радиусом 3, а если x<0, то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C₂(-5;4) и таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях a уравнение (x+2)²+y²=a² задаёт окружность ω с центром в точке C (2;0) и радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a , при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω₁ и ω₂.

Из точки C проведём луч CC₁ и обозначим через A₁ и B₁ точки его пересечения с окружностью ω₁, где A₁ лежит между C и C₁. Так как , то

При a<CA₁ или a>CB₁окружности ω и ω₁ не пересекаются.

При CA₁<a<CB₁ окружности ω и ω₁ имеют две общие точки.

При a=CA₁ или a=CB₁ окружности ω и ω₁ касаются. Из точки C проведём луч CC₂ и обозначим через A₂ и B₂ точки его пересечения с окружностью ω₂, где A₂ лежит между C и C₂. Так как , то CA₂=5-3=2, CB₂=5+3=8.

При a<CA₂ или a>CB₂ окружности ω и ω₂ не пересекаются.

При CA₂<a<CB₂ окружности ω и ω₂ имеют две общие точки.

При a=CA₂ или a=CB₂ окружности ω и ω₂ касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA₂<CA₁<CB₂<CB₁, то условию задачи удовлетворяют только числа a =2 и a=

Задание №11907