а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

Правильная треугольная призма – это треугольная призма у которой основания правильные треугольники, а боковые грани прямоугольники. Поэтому, все углы между основаниями и боковыми гранями прямые, равны 90°.

Проведем BN, получаем ΔBNM, по обратной теореме Пифагора, докажем, что он прямоугольный, а значит BM⊥MN.

Найдем стороны данного треугольника. C₁N = NA₁ = A₁M = MA = 3, т.к. точки N и M середины рёбер длинной 6. Сторону MN найдем из прямоугольного ΔMA₁N по теореме Пифагора:

Сторону MB найдем из прямоугольного ΔMAB по теореме Пифагора:

В₁N делит противоположную сторону на равные отрезки в равностороннем треугольнике, она является медианой, высотой, биссектрисой. Найдем В₁N по теореме Пифагора из прямоугольного ΔNA₁B₁:

Сторону BN найдем из прямоугольного ΔBB₁N по теореме Пифагора:

По обратной теореме Пифагора проверим, является ли ΔBNM прямоугольным:

BN² = BM² + MN²

63 = 45+18

63 = 63

Значит треугольник прямоугольный, ∠NMB = 90° (лежащий напротив большей стороны, гипотенузы) ⇒ BM⊥MN.

Что и требовалось доказать.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Линия пересечения этих плоскостей – это прямая BM. Перпендикуляр из плоскости BMN – это прямая MN, MN⊥BM – по доказанному в пункте а).

Докажем, что перпендикуляр из плоскости АВВ₁ к ВM – это прямая КМ:

Проведём перпендикуляр NK⊥B₁A₁ и отрезок КM. Так же NK⊥A₁A, т.к. у нас правильная треугольная призма. Значит NK перпендикулярна всей плоскости АВВ1, т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости ⇒ ∠NKM = 90°.

Поэтому MK – проекция MN на плоскость ABB1. Прямая BM⊥MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM⊥MK. Следовательно, искомый угол – это угол ∠NMK между перпендикулярами к прямой BM.

∠NMK находится в прямоугольном ΔNMK. Найдём его катет из равностороннего ΔА₁В₁С₁. Проведём в нём высоту С₁Н, она равна высоте В₁N = 3√3 из пункта а). NK – средняя линия треугольника, т.к. NK⊥В₁А₁ и N – cередина С₁А₁. Средняя линия треугольника равна половине параллельного основания: NK=(3√3)/2

Тогда в прямоугольном ΔNMK, найдём искомый угол, через синус угла:

Задание №11929