Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 244

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3.

а) Докажите, что  KM⊥AC.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB=6, AC=8 и AA₁=3.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 8, боковое ребро SA равно 7. На ребрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=2, SK=1.

а) Докажите, что плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС. 

б) Найдите объем пирамиды BCKM.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK:KC=3:1, а AB=2 и SO=√14.

а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45°, AB=2√3, CC1=2√6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60°.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁.

Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°​.

а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5.

б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC=1, cos∠ASC=2/3.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁=10, AB=12.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М - середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.

а) Докажите, что КМ=КD.

б) Найдите объем пирамиды СDKM.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причём BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB=20, BB₁=15, B₁C₁=21.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 5, а боковое ребро SA равно 9. Точка М лежит на ребре АВ, АМ=1, а точка К лежит на ребре SC. Известно, что МК=KD.

а) Докажите, что плоскость DKM перпендикулярна плоскости АВС.

б) Найдите площадь треугольника DKM.