Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 243
Вопросы
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.
а) Докажите, что cos∠BAD=1/5.
б) Найдите площадь ромба, если MN=5.
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120о, ∠BCA=15о.
а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A₁H, если BC=4√3.
Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что AC=9.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB=90о.
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.
а) Докажите, что ∠BKM=45о.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона AB=2√10.
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что ∠AEM=∠CMK.
б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM:MC=1:4.
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Через точку C₁ параллельно высоте BB₁ проведена прямая, пересекающая высоту AA₁ в точке K.
а) Докажите, что AB⋅KH=BC⋅C₁H.
б) Найдите отношение площадей треугольников C₁HK и ABC, если AB=6, BC=4, AC=5.
Окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC=32.
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
а) Докажите, что AB:BC=AE:EK.
б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD:DC=5:2.
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
