Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 241

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC = 32.

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет на отрезке [0; 4] ровно один корень.

а) Решите уравнение 16^{sin x}-6*4^{sin x}+8=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п ; -7п/2]

Различные точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок АВ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

а) Докажите, что cos∠ASC + cos∠BSC = 1,5.

б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, cos∠ASC = 2/3.

Решите неравенство

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: 

— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца (r — целое число);

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; 

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.

В треугольнике АВС точки М и N лежат на сторонах АВ и ВС соответственно так, что АМ : MB = CN : NB = 2 : 3. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается отрезка MN в точке L.

а) Докажите, что АВ + ВС = 4АС.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, если МL = 9/5, LN = 3.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

а) Может ли S быть равной ?

б) Может ли S быть равной ?

в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.