Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 241
Вопросы
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1:C1B=21:10, BA1:A1C=2:3, AB1:B1C=2:5.
Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=63, BC=25.
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен ее боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO=CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM:MB=1:2.
В треугольнике ABC угол A равен 120о. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH=AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=3, ∠ABC=15о.
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC — в точке K, причём AN=4, MN=12.
а) Докажите, что ∠AMD=∠MCK.
б) Найдите основания трапеции.
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK=15, KL=6, LB=5.
В треугольнике ABC продолжения высоты CC₁ и биссектрисы BB₁ пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ABC=40о, ∠ ACB=85о.
а) Докажите, что BM=CN.
б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 6.
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.
б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм.
а) Докажите, что BC=DE.
б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE=4, AD=7, BE=8 и AB>BC.
Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции
