Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 242

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠BB₁C₁=∠BAH.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁=18 и ∠BAC=30^о.

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.

а) Докажите, что AE=AK.

б) Найдите отношение KE:BD, если ∠BAD=60^о.

В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB=CN:NB=2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L.

а) Докажите, что AB+BC=4AC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML=9/5​, LN=3.

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.

а) Докажите, что AE=AK.

б) Найдите AD, если CE=10, DK=9 и cos∠BAD=0,2.

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE.

а) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅AC.

б) Найдите EL, если AC=8, tg∠BCA=1/2.

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку С, причём CM=BC и CN=AC. Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. 

а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.

б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC=1, а AC=3.

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А  и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность в точке E, а прямая BC  вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3 и 4.

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=30^о, ∠BCA=45^о.

а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A₁H, если BC=4√3.

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что ∠ANB=2∠ABC. 

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC=14 и AB=36.