Банк заданий ЕГЭ по профильной математике

Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°​.

а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5.

б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC=1, cos∠ASC=2/3.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁=10, AB=12.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М - середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.

а) Докажите, что КМ=КD.

б) Найдите объем пирамиды СDKM.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причём BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB=20, BB₁=15, B₁C₁=21.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 5, а боковое ребро SA равно 9. Точка М лежит на ребре АВ, АМ=1, а точка К лежит на ребре SC. Известно, что МК=KD.

а) Докажите, что плоскость DKM перпендикулярна плоскости АВС.

б) Найдите площадь треугольника DKM.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB=2. Плоскость α проходит через вершины A₁ и B и середину M ребра CC₁.

а) Докажите, что сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причём BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если AB=7, BB₁=24, B₁C₁=10.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM:MD=3:2, BN:NC=1:2. Плоскость AMN

 пересекает ребро SC в точке K.

а) Докажите, что SK:KC=6:1.

б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

 На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD

с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM:MD=2:1. Точки P и Q — середины ребер BC

 и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.