Банк заданий ЕГЭ по профильной математике

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Через точку C₁ параллельно высоте BB₁ проведена прямая, пересекающая высоту AA₁ в точке K.

а) Докажите, что AB⋅KH=BC⋅C₁H.

б) Найдите отношение площадей треугольников C₁HK и ABC, если AB=6, BC=4, AC=5.

Окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC=32.

На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.

а) Докажите, что AB:BC=AE:EK.

б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD:DC=5:2.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т  параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2. Через точку Т  параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3.

а) Докажите, что  KM⊥AC.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB=6, AC=8 и AA₁=3.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 8, боковое ребро SA равно 7. На ребрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=2, SK=1.

а) Докажите, что плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС. 

б) Найдите объем пирамиды BCKM.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK:KC=3:1, а AB=2 и SO=√14.

а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45°, AB=2√3, CC1=2√6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60°.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁.