Банк заданий ЕГЭ по профильной математике

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC , является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1 , если AA1=6 , AB=4

На рёбрах AC,AD,BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K,L,M и N соответственно, причём AK:KC=2:3.Четырёхугольник KLMN— квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB.  Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q  —  середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.

а) Докажите, что плоскость α  делит ребро AC пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1C1, считая от точки A1, если известно, что AB=AA1, AB:BC=2:5.

В правильной треугольной пирамиде SABC  с основанием ABC точки M и K — середины ребер AB и SC соответственно, а точки N и L  отмечены на ребрах SA и BC  соответственно так, что отрезки MK и NL  пересекаются, а AN=3NS.

а) Докажите, что прямые MN, KL  и SB пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение BL:LC.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины ребер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S  отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают рёбра AS и BC в точках N и L соответственно, причём BL=3LC.

а) Докажите, что отрезки MK и NL пересекаются.

б) Найдите отношение AN:NS.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=√2, CC₁=2.

а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 45°.

б) Найдите объём цилиндра.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка M — середина ребра A₁B₁.

б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка K делит ребро B₁C₁ в отношении B₁K:KC₁=2:3.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=2, SK=1. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и соджержит точки М и К. 

а) Докажите, что плоскость α содержит точку С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равна √21. На ребрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причем АМ=4, SK:KB=1:3.

а) Докажите, что плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.

б) Найдите объем пирамиды ВСKM.

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость α проходит через вершины B₁ и D и пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD — ромб.

а) Докажите, что точка M — середина ребра AA₁.

б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB₁KD равна 6.