Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 338

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы: 

— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; 

— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года; 

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; 

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,022 млн рублей?

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы: 

— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 22 % по сравнению с концом предыдущего года; 

— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; 

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; 

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1,572 млн рублей?

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P. 

а) Докажите, что OP=CP. 

б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 36, ∠ABC =60° .

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что OP=CP. 

б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 30, ∠ABC = 60°.

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений 

имеет ровно два различных решения.

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Из правильной несократимой дроби a/b где a и b— натуральные числа, за один ход получают дробь

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 1/5 получить дробь  32/45 ?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 9/14 ?

в) Несократимая дробь c/d больше 0,68. Найдите наименьшую дробь c/d, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Из правильной несократимой дроби a/b где a и b— натуральные числа, за один ход получают дробь

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 1/4 получить дробь 27/38 ?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 8/15 ?

в) Несократимая дробь c/d больше 0,69. Найдите наименьшую дробь c/d, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB=2. Плоскость α проходит через вершины A₁ и B и середину M ребра CC₁.

а) Докажите, что сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M=2MA, A₁K=KB₁. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB₁A₁.

а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C₁.

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если все рёбра призмы равны 12.