Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 340
Вопросы
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a(x+4/x)²+2(x+4/x)−25a+10=0 имеет ровно два различных корня.
На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20.
а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 21?
б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 15?
в) Найдите наибольшее возможное число k такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на k.
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x⁴+(a−3)²=|x−a+3|+|x+a−3| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа n. Найдите наименьшее возможное значение n.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5п/2; 4п]
B правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона АВ основания равна 5, а боковое ребро АА1 равно √5 . На ребрах ВС и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = C1L = 2. Плоскость у параллельна прямой BD и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая А1С перпендикулярна плоскости у.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка А1, а основание — сечение данной призмы плоскостью у.
