Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 240
Вопросы
Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.
а) Докажите, что BK=BE.
б) Найдите отношение KE:AC, если ∠BAD=30о.
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM=MO, CN=NO.
а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение AM:MB, если AO=CO и BC:AD=17:31.
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5, BC=10, ∠ BAD=60о.
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC=10 и AB=24.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=15 и AC=2√61.
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
а) Докажите, что ∠BAM=∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB=√10, а BC=2BM.
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC.
с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность
в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны √15 и 15.
Окружность с центром O1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон BC, CD и AD . Известно, что AB=10,BC=9,CD=30, AD=39.
а) Докажите, что прямая O1O2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите О1O2.
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD . На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки СК и BE пересекаются в точке O.
а) Докажите, что CO=KO
б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N
а) Докажите, что AM=AN.
б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=1:2, а cos∠BAD=23
