Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 239

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если ∠A=150^о, BC=√55 и площадь треугольника АВ1С1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁  соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны В1С1 и радиус данной окружности, если ∠A=120^о, BC=10√7 и площадь треугольника АВ₁С₁ в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.

а) Докажите, что ∠ABM=∠DBС=30^о.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC=9.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=15 и BD=8,5.

На сторонах  АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки С₁, А₁ и В₁ соответственно, причём АС₁:С₁В=8:3, ВА₁:А₁С=1:2, АВ₁:В₁С=1:3. Отрезки ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке D.

а) Докажите, что четырёхугольник ADA₁B₁ — параллелограмм.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=16, BC=15.

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.

а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.

б) Найдите сторону ромба, если MN=√6.

В треугольнике ABC точки А₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=60^о, ∠BCA=45^о.

а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A₁H, если BC=2√3.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые.

а) Докажите, что AM=DM.

б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70^о, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC.

В треугольнике ABC угол A равен 120^о. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что AH=AO.

б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=√15, ∠ABC=45^о.