Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 239
Вопросы
В правильной пирамиде SАВС с вершиной S на стороне основания АС и боковом ребре SB отметили соответственно точки Е и N такие, что АЕ:ЕС = SN: NB = 1:2. Через точки Е и N параллельно прямой АВ провели плоскость .
а) Докажите, что сечением пирамиды SАВС плоскостью является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость разделила пирамиду SАВС на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка А, если АВ = 6 , АS = 
В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей;
- выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
- к июлю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
В квадрате АВСD на диагонали ВD и на сторонах АВ и ВС отметили соответственно точки Р, Е и F такие, что ВЕ = ВF, а прямая, проходящая через точку Р параллельно прямой АС, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если ВР*ВЕ = корень 2, то АВ = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников ЕРF и ЕВF.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1 , 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
– к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
– вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
а) Решите уравнение: 
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,4; 4].
В правильной пирамиде SABC на стороне BC основания ABC и боковом ребре AS отметили соответственно точки P и K такие, что BP:PC=AK:KS=2:1. Через точки P и K параллельно прямой AC провели плоскость α.
a) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
b) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разделила пирамиду SABC.
В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1324 тыс. рублей;
– выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
– к маю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.