Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 234
Вопросы
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка Е — середина стороны ВС. Через точку В перпендикулярно прямой АВ и через точку Е перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке К.
а) Докажите, что АК = KD .
б) Найдите угол ADE, если расстояние от точки К до прямой AD равно длине отрезка ЕС и ∠ADC = 110°.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 - красную, если на 4 - синюю, если на 5 - зеленую. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на k карточках есть только синяя и зелёная отметки, на k карточках - только синяя и красная, на k карточках только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-0,9 ; 2,9].
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах ВС, CD и SC соответственно отмечены точки К, N и F так, что BK:KC = CN:ND = 1:2, CF:FS = 2:7.
а) Докажите, что плоскости АВС и FNK перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды AFNK, если AB=AS=6.
Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант 1 | – Каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; – кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. |
Вариант 2 | – 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2027 года, долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего квартала; – во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; – на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; – к 1 июня 2029 года кредит должен быть полностью погашен. |
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке продолжение стороны DС - в точке Р; диагональ АС является биссектрис угла KAD.
а) Докажите, что РС2 =CD*PK.
б) Найдите АС:АР, если ВС:АВ =2,5.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен второе и один - третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает а первых, b вторых и с третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается 10а+4b+с очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно а1, b1 и с1, а у спортсмена-2 – а2, b2 и с2, то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
– a1 > a2,
– a1=a2 и b1>b2,
– a1=a2, b1=b2 и c1>c2.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл Q для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться 10а+k1b+k2c очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения k1 и k2, такие, что 1≤k2<k1≤ 9. Найдите все пары (k1; k2), при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла Q.