Задание №11379

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен второе и один - третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает а первых, b вторых и с третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований. 

В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается 10а+4b+с очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые. 

В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно а₁, b₁ и с₁, а у спортсмена-2 – а₂, b₂ и с₂, то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях: 

– a₁ > a₂, 

– a₁=a₂ и b₁>b₂,

– a₁=a₂, b₁=b₂ и c₁>c₂.

Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые. 

а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года? 

б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами? 

в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл Q для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться 10а+k₁b+k₂c очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения k₁ и k₂, такие, что 1≤k₂<k₁≤ 9. Найдите все пары (k₁; k₂), при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла Q.