Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 218

Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью А₁В₁С₁ является круг, вписанный в четырёхугольник A₁B₁C₁D₁; AB=а, AA, = √2а.

а) Высота конуса равна h. Докажите, что 4,5а < h < 5а.

6) Найдите угол между плоскостями АВС и SD₁C₁, где S - вершина конуса.

Решите неравенство

В июле Анна планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Анне оформить кредит на следующих условиях:

– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая - может быть разным для разных годов);

– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

В первом банке процентная ставка по годам составляет 10, 20 и 15 процентов соответственно, а во втором - 15, 10 и 20 процентов. Анна выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 14 до 15 тысяч рублей.

На сторонах АВ и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки К и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и ВСNК также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.

а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны. 

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, АК : КВ = 9 : 10, а ВС < AD и ВС = 10.

Найдите все такие значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735. 

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов? 

б) Может ли последовательность состоять из шести членов? 

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].

Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP = 1,3AB. Через точку A перпендикулярно апофеме грани BCP проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α делит апофему грани BCP в отношении 119 : 25, считая от точки P.

б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.

Решите неравенство

В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;

- в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;

- в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;

- к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

​Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составлять 6025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата 2031 года?