Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 217
Вопросы
В треугольнике АВС точки N и Р — середины сторон АВ и ВС соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник АВС.
а) Докажите, что периметр треугольника АВС равен 4АС.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если его периметр равен 24, ∠ВАС = 60°.
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
имеет единственное решение.
Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами m1, m2 и m3 так, что 
. Найдите наименьшее такое число d, что 
.
а) Решите уравнение 
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 1].
В правильной пирамиде SАВС с вершиной S на стороне основания АС и боковом ребре SB отметили соответственно точки Е и N такие, что АЕ:ЕС = SN: NB = 1:2. Через точки Е и N параллельно прямой АВ провели плоскость .
а) Докажите, что сечением пирамиды SАВС плоскостью является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость разделила пирамиду SАВС на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка А, если АВ = 6 , АS = 
В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей;
- выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
- к июлю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
В квадрате АВСD на диагонали ВD и на сторонах АВ и ВС отметили соответственно точки Р, Е и F такие, что ВЕ = ВF, а прямая, проходящая через точку Р параллельно прямой АС, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если ВР*ВЕ = корень 2, то АВ = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников ЕРF и ЕВF.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1 , 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
– к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
– вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
