Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 220

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона АВ равна а, а основание AD = с больше основания ВС = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD. 

а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону ВС, то b + с < 2а. 

б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если с = 12, b = 6, а = 10.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет одно или два решения.

Дано четырёхзначное число  где а, b, с и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём а≠0.

а) Может ли произведение а • b • с • d быть больше суммы а + b + с + d в 5 раз? 

б) Цифры а, b, с и d попарно различны. Сколько существует различных чисел  таких, что a • b • c • d > a + b + c + d?

в) Известно, что а • b • с • d = k(a + b + c + d), где k — двузначное число. При каком наибольшем значении  число k будет наибольшим?

а) Решите уравнение 2sin²x-3cos(-x)-3=0. 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Точки М и N - середины боковых сторон АВ и CD соответственно. Плоскость а проходит через точки М и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью а является трапецией. 

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью а, если AD = 9, ВС = 7, SO = 6, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Решите неравенство

В июле 2027 года планируется взять кредит на три года в размере 1200 тыс. рублей.

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- платежи в 2028 и 2029 годах должны быть равными;

- к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2030 году составит 673,2 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2028 года?

В параллелограмме ABCD угол ВАС вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла ВАС пересекает отрезок ВС в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка Е, что AE = СЕ.

а) Докажите, что AL: AC = АВ: ВС.

б) Найдите EL, если АС = 21, tg∠BCA = 0,4.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет четыре различных корня.

Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй - 99, а третья - пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся.

Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй - 99, а в третьей - 9? 

б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?

в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?