Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 214

Решите неравенство

В треугольнике АВС угол А равен 120°. Прямые, содержащие высоты ВМ и CN треугольника АВС, пересекаются в точке Н. Точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС.

а) Докажите, что АН = АО.

б) Найдите площадь треугольника АНО, если ВС= √15, ∠ABC = 45°.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Найдите все значения α, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = .

а) Докажите, что BD = CD .

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.

Решите неравенство

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);

– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;

– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б)Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.