Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 214

В июле Борис планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Борису два варианта кредитования.

1-й вариант: 

• кредит предоставляется на 3 года; 

• в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;

• в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту

2-й вариант: 

• кредит предоставляется на 2 года;

• в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 16% от суммы долга на колец предыдущего года;

• в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

Когда Борис подсчитал, то выяснил, что по 1-му варианту кредитования ему придётся выплачивать на 353 740 рублей меньше, чем по 2-му варианту. Какую сумму Борис планирует взять в кредит?

Четырёхугольник ABCD со сторонами ВС = 14 и АВ = CD = 40 вписан в окружность радиусом R = 25.

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны. 

б) Найдите AD.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040. 

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов? 

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

а) Решите уравнение 2^sin5x+6^1+sin5x=24^sin5x+3×8^1/3+sin5x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 7π/2].

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром √13 и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость а перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.

а) Докажите, что плоскость а и шар пересекаются более чем в одной точке. 

б) Найдите площадь сечения шара плоскостью а.

Решите неарвенство

В июне 2025 года бизнесмен Вадим Олегович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга, причём каждый из платежей 2027 и 2028 годов в 1,5 раза больше платежа предыдущего года;

– в период с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 3 304 840 рублям.

Найдите сумму кредита, если общие выплаты по нему составили 10 904 840 рублей.

В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС точки Е и F - середины сторон ВС и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если АВ = 7, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник АВЕF, равен 2,5.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.